مطالعه یک حکیم ریاضی

سلام

عموما در مطالعه کتب ریاضی، به مطالب آن به چشم معماهایی پی در پی نگاه میکنیم که در انتظار حل شدن نشسته اند ولی حقیقت مطلب برای یک حکیم ریاضی غیر از این است

فردی که با دیدگاه کشف چیستی مفاهیم، کشف روابط، چیستی ساختارها و سیستمها به علم ریاضیات می نگرد باید بداند که در مطالعه ریاضیات باید با مطالب گفت و گو کرد، اصالت، مسیری که در کتاب برای رسیدن به این مکان طی شده، دلایل رسیدن به چنین جایی، امکان تجرید و تعمیم در مفاهیم، ارتباط با دیگر آموخته هایمان، جایگاه مطالب در علم ریاضی را از ریاضیات خواست و منتظر پاسخ بود.

• مثال1 پس از تعریف مشتق در توابع مختلط
  

1) طبیعیترین سوال: اگر همانند مشتق گیری در توابع مختلط با توابع حقیقی رفتار کرد چه نتایجی را به بار خواهد آورد؟ آیا این تعمیمی از مشتقگیری در توابع حقیقی است؟ یا نتایج احیانا برابر صرفا حاصل یک تصادف بوده اند؟

2) آیا همچون توابع یک متغیره مشتق یک عملگر است؟

3) آیا همانند توابع حقیقی در اینجا نیز پادمشتق داریم؟

4) تعبیر هندسی بخش موهومی یک مشتق چیست؟

• مثال2: اولین سوالات در میدان برداری

1) آیا امکان حذف برخی شرایط میدان وجود دارد؟

2) اگر پاسخ به سوال اول بله است چه نتایجی به بار خواهد آورد؟

3) اگر پاسخ به سوال اول خیر است چرا؟ آیا تناقضی در پی دارد؟

4) میدان برداری از چه صفات اعداد تجرید شده است؟

• مثال 3: در آغاز راه جبر و پس از آشنایی با مفاهیم حلقه و گروه، باید بارقه تعمیم در ذهن بدرخشد، چرا دستگاه اعداد طبیعی، صحیح و اعداد حقیقی ابزار بسیار قدرتمندی هستند که اکنون به تسخیر اذهان درمیایند و راه برای کنجکاوی ذهن گشوده میشود:

1) آیا دستگاههای اعداد را میتوان به شکل دیگری تجرید کرد؟

2) آیا همین دستگاهها قابلیت تجرید را دارند؟

3) آیا میتوان این دستگاهها را به ابزار جدیدی مجهز نمود؟

4) در تجریدهای گروه و حلقه به چه ساختارهایی از دستگاه اعداد دست اندازی شده است؟ چرا این صفات از اعداد مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفته است؟

• مثال 4: پس از آشنایی با نظریه مجموعه هاسوالاتی هرچند دور از ذهن یک ریاضیکار مبتدی و معمولی ولی عادی برای حکیم علم مطرح خواهد شد:

1) آیا مفهوم خانواده متضمن تناقض نیست؟

2) آیا فضای حاصلضربی واقعا وجود دارد؟

3) آیا مطرح شدن حساب اعداد اصلی به عنوان تعمیمی از حساب قابل قبول است؟

4) اصالت با اعداد ترتیبی است یا اعداد اصلی؟ کدام یک مبنای تعریف دیگری باید قرار بگیرد؟

5) تعریف عدد چیست؟ و آیا تعاریفی که از عدد 1 در نظریه طبیعی مجموعه ها ارائه شده برای یک حکیم قابل قبول است؟

طرح شدن این سوالات در ذهن متعلم آغاز به کار درگیر شدن با حکمت ریاضی است. همانطور که در مثالهای 1 و 2 بیشتر مشهود بود سوالاتی که یک حکیم باید از خود بپرسد تنها «چیستی» نیست بلکه بعضا با سوالهایی مثل

• «"چرا" این نتیجه حاصل شده است» (مثال1 - سوال 1)
• «آیا میتوانست "اتفاق دیگری" بیافتد؟» (مثال2 سوال 1،2،3)
  
• «"به چه علت" جامعه ریاضی به این تعریف تمایل پیدا کرده است؟» (مثلا در مثال4 سوال4)
• و در نهایت سوال معمول حکیمان:
• «آیا "وجود" چنین موجودی را میتوان قبول کرد؟» (مثال 4)